增长率专题：（ 增长率可以简写成 r ）

1. 增长率表示两者变化的相对量

2.公式：

3. 增长率又称增速、增幅或者增长速度、增长幅度、增值率等

4. 增长率为负数时表示下降，下降率也可以直接写成负的增长率

例：（2024国家）2023年1~3月我国机器人设备累计出口金额1.9亿美元，较上年增长62.1%，累计进口金额6.9亿美元，较上年增长55.1%。

问：2023年一季度，我国机器人设备进出口贸易逆差比上年同期：

A.下降了不到30%

B.下降了30%以上

C.上升了不到30%

D.上升了30%以上

解析

5. 根据题干“2023年一季度······进出口贸易逆差比上年同期······”，结合选项为百分数，可判定本题为一般增长率问题。
6. 根据公式：贸易逆差=进口额-出口额，则2023年1-3月，我国机器人设备进出口贸易逆差为6.9-1.9=5亿美元；
7. 根据公式：基期量=现期/(1+增长率)
8. 则2022年1-3月，我国机器人设备进出口贸易逆差为[6.9/(1+55.1%)] - [1.9/(1+62.1%)]≈4.5-1.2=3.3亿美元。
9. 根据公式：增长率=(现期量-基期量)/基期量，故贸易逆差的增长率为(5-3.3)/3.3≈50%+，即上升了30%以上。
10. 故正确答案为D。

一、增幅、降幅、变化幅度

1、增幅（增长率/增速）：可正可负，比较时要带正负号（5% ＞ -10%）

2、降幅：增长率为负，比较时看绝对值（|-5%| ＜ |-10%|）

3、变化幅度：增长率可正可负，比较时看绝对值（|5%| ＜ |-10%|）

4、求增长率方法

1. 出现增速
   1. 2024年收入10万元，同比增长10%，增速比去年提高5个百分点。则2023年的增长率为：
   2. 2024年收入10万元，同比增长10%，增速比去年回落5个百分点。则2023年的增长率为：
   3. 分析：“增速”直接带符号，用“高减低加”。①出现增速，直接使用高减低加，10%-5%=5%，所以2023年的增长率为5%。②出现增速，直接使用高减低加，10%+5%=15%，所以2023年的增长率为15%。
2. 出现降幅
   1. 2024年收入10万元，同比下降10%，降幅比去年扩大5个百分点。则2023年的增长率为：
   2. 2024年收入10万元，同比下降10%，降幅比去年收窄5个百分点。则2023年的增长率为：
   3. 分析：“降幅”先不带符号用“高减低加”，后面再添“负号”。①出现降幅，先不带符号用“高减低加”，10%-5%=5%，后面再添“负号”,则2023年的增长率为：-5%。②出现降幅，先不带符号用“高减低加”，10%+5%=15%，后面再添“负号”，则2023年的增长率为：-15%。

二、百分数与百分点

1. 百分数：表示两个量的比例关系，用除法计算
   1. 例：2022年为150，21年为100，则22年比21年增长150−100100 = 50%
2. 百分点：表示百分数的变化，用加减法计算
   1. 例：22年为70%，21年为20%，则22年比21年增长 70-20=50 个百分点
3. 考察形式：给出一个百分数和百分点，求另一个百分数
   1. 例：22年为70%，比21年提高了20个百分点，则21年为 50%
   2. 例：22年为70%，比21年降低了20个百分点，则21年为 90%

三、间隔增长率

1. 题型识别：中间隔一个时期（一般隔1年），求增长率。例如有三个时期2022、2023、2024，已知2023与2022相比较的增长率为r1，2024与2023比较的增长率为r2。求2024与2022相比较的增长率r，这种题型称为间隔增长率。

2. 公式：r=r1+r2+r1×r2

3. 公式推导：设2022年量为1，知道基期及增长率，根据现期公式（基期+(基期×增长率)）则2023量为1+(1×r1)=1+r1，2024年量为(1+r1)+(1+r1)×r2=1+r1+r2+r1×r2，则2024年与2022年比较的

   $$\mathrm{增}\mathrm{长}\mathrm{率}=\frac{\mathrm{现}\mathrm{期}-\mathrm{基}\mathrm{期}}{\mathrm{基}\mathrm{期}}=\frac{1+r1+r2+r1\ast r2-1}{1}=r1+r2+r1\ast r2$$

4. 速算技巧

   1. 先算加法r1+r2，排除选项
   2. 如果r1和r2均小于10%，可忽略乘法。示例：5%+8%+5%×8%≈？由于5%、8%均小于10%，可以忽略r1 × r2，则原式≈5%+8%=13%。
   3. 如果r1或r2大于10%，其中一个百分化。示例：5%+36%+5%×36%≈？由于36%>10%，r1 × r2不能忽略。可以将5%化成分数为1/20，然后计算36%/20=1.8%，则原式≈41%+1.8%=42.8%。

例：（2017国家）2015年全行业全年生产手表10.7亿只，同比增长3.9%，完成产值约417亿元，同比增长4.3%，增速提高1.9个百分点；生产时钟(含钟心)5.2亿只，同比下降3.7%，完成产值162亿元，同比下降4.7%，降幅扩大1.3个百分点

问：2015年我国钟表全行业生产时钟(含钟心)的产值与2013年相比约( )

A.上升了11%
B.下降了11%
C.上升了8%
D.下降了8%

解析

5. 本题问2015与2013年相比，中间隔一个时期。本题是间隔增长率计算问题。
6. 根据题干2014年我国钟表全行业生产时钟(含钟心)的产值的增长率是-(4.7%-1.3%)=-3.4%，那么两期间隔增长率就是，-4.7%-3.4%+4.7%×3.4%，非常接近-8.1%，结合选项选择D选项。

四、乘积增长率

1. 什么是乘积增长率：即量之间满足C＝B×A形式时，已知a%，b%，求C的增长率c%，即C的增长率称为乘积增长率。
2. 公式：rc=ra＋rb＋ra × rb (与间隔增长率公式一样)
3. 乘积增长率常用题型:
   1. 平均数类问题，总数＝平均数×个数，求解总数的增长率时:
   2. 比重类问题，部分量＝整体量×比重，求解部分量的增长率时；
   3. 经济利润问题，总价＝单价×数量，求解总价的增长率时；
4. 公式推导过程：例如单位面积产量(A)的增长率为a，面积(B)的增长率为b，求总产量的增长率c?
   1. 其中：总产量=(A)单位面积产量×(B)面积
   2. 总产量增长率公式(c)=总产量现期总产量基期总产量基期总产量现期−总产量基期总产量基期
   3. 总产量现期=A×B，总产量基期=单位面积产量基期×面积基期=A1+a×B1+b
   4. 带入值总产量增长率公式，即：c=A×B−A1+a×B1+bA1+a×B1+b
   5. 化简：c=A×B×(1+a)∗(1+b)A×B-1 = a＋b＋a×b

例：（2019辽宁）2019年1—8月，房地产开发企业土地购置面积12236万平方米，同比下降25.6%,每平方米土地价格同比上涨4.5%，土地成交额6374亿元。

问：2019年1—8月，房地产开发企业土地成交额与去年同期相比增长约为：
A.-17%
B.-22%
C.-27%
D.1.2%

解析

5. 题目中有3个主体词：土地成交额、土地购置面积、土地价格，通过观察可以发现它们满足一个关系式：成交额C＝购置面积A×价格B，它们的增长率分别可以用a、b、c表示。
6. 根据题干“2019年1-8月，······与去年同期相比增长约”，求成交额c的增长率
7. 材料可知a、b，求c，我们可以使用乘积增长率公式：c=a＋b＋a×b，代入计算可得rA=-25.6%＋4.5%-25.6%×4.5%，（注意下降一定不要忘记带负号）大致计算-25.6%＋4.5%，可知-22%最接近，答案应选B。

五、混合增长率

定义：混合增长率的关键在于“混合”，混合即为不同事物交叉混合在一起，那么混合增长率也就是混合后所形成的整体量的增长率，如全班人=男人+女人，那么全班人就是男人和女人混合后所形成的整体量，男人和女人为两个部分量，则全班人的增长率就是整体量的增长率，也可称之为混合增长率。

• 1、举例：一杯100g含盐量为20%的盐水，和50g清水(含盐量为0%)，将盐水和清水倒到一个大杯子里形成混合液体，则混合液体的含盐量在0%-20%范围内，且偏向于量大的一方。及混合后的增长率处于部分增长率之间，且偏向于基期量大的一方。
• 2、题型：部分混合得到整体，求整体增长率 （进出口、城镇乡村全国、男女、房地产、1~N月、季度全年半年、油料和水果、A与非A等）
• 3、公式：部分基期部分基期部分基期A部分基期B=c−ba−c 【a，b为部分增长率，c为整体增长率】
• 4、做题技巧：
  1. （1）混合后的放中间，混合前的放两边（b < 混合r < a）
  2. （2）先求两者增长率平均值（a+b2），然后看谁基期量大（一般可以拿现期代替基期），混合后的增长率就往谁靠。如果现期量接近，增长率一正一负或增长率差距非常大时，要用基期量。一般这一步可以排除2~3个选项。
  3. （3）使用公式准确计算。

---

• 4、计算混合增长率的方法：
  1. （1）十字交叉法

1. 口诀：整体增长率写中间，部分增长率写左边（大的在上，小的在下），交叉做差，得到基期之比。

   增长率差距小时可以用现期代替基期

   1. （2）线段法

     1、线段长度（增长率差值）与基期量成反比
     2、a，b为部分增长率，c为混合增长率，A，B为基期
     a       a-c           c          c-b       b 
     |                     |                    |
     --------------------------------------------
             A                      B
     公式：(c-b)/(a-c)=A/B，把已知量带入求解

1. 口诀：部分增长率写两边，整体增长率写中间，距离和基期成反比。距离是指混合后的的距离的两端差。（增长率差距小时可以用现期代替基期）

• 五、公式推导过程：

  定义部分和整体的基期量和对应增长率：

  部分		整体
  基期	增长率	基期	增长率
  A1	r1	A	r
  A2	r2

  其中：部分基期之和=整体基期，部分增长量之和=整体的增长量，即有：

  ①整体基期：A1+A2=A

  ②整体增长量：A1r1+A2r2=Ar

  将整体基期公式①代入整体增长量公式②右侧，则有：A1r1+A2r2=Ar=(A1+A2)r=A1r+ A2r

  移向得：A1r1-A1r=A2r-A2r2

  提取公因数得：A1(r1-r)=A2(r-r2)

  则有：A1A2=r−r2r1−r

例：（2019国家）2017年，A省完成邮电业务总量6065.71亿元。其中，电信业务总量3575.86亿元，同比增长75.8%;邮政业务总量2489.85亿元，增长32.0%。

问：2017年A省邮电业务总量同比增速在以下哪个范围之内?

A.低于25%

B.25%～50%之间

C.50%～75%之间

D.超过75%

解析

5. 根据“2017年A省邮电业务总量同比增速在以下哪个范围（完成邮电业务总量=电信业务总量+邮政业务总量）”，且材料已知电信业务和邮政业务的增长率，可判断此题为混合增长率问题。
6. 定位文字材料，“A省完成邮电业务总量6065.71亿元。其中，电信业务总量3575.86亿元，同比增长75.8%;邮政业务总量2489.85亿元，增长32.0%”。
7. 利用混合增速性质可知，整体增速介于部分增速之间，故邮电业务总量的增速介于32%~75.8%之间，排除A。
8. 32%和75.8%的中间值为53.9%，其次，根据混合增速的大小居中但偏向于基期量大的性质，比较电信和邮政的基期量分别为$\frac{3575.86}{1+75.8\mathrm{\%}}$和$\frac{2489.85}{1+32\mathrm{\%}}$这里要算基期，因为增长率差距太大，如果差距不大可以直接用现期值。然后直除首位分别为2和1，可知前者大于后者，所以混合增长率略大于中间值53.9%。因此，选择C选项。

六、年均增长率

定义：年均增长率是统计学中的一个概念，也被称为复合增长率。它表示在一定年限内，平均每年增长的速度。

1、题型识别：年均 + 增长 + %

2、公式：(1+r)n = 现期基期现期基期 （n=年份差，r为年均增长率）

3、公式化简：r = 现期基期现期基期n-1 < （现期基期现期基期-1）÷n（估算公式）

4、速算：

5、年均增长率比较：年份n相同，直接比较 【 现期基期现期基期】

例：（2018上海）

问：2012-2016年，我国单银幕总票房平均每年较上年增长约：

A.13%

B.28%

C.54%

D.67%

解析

5. 由题干“平均每年较上年增长”，结合选项为百分数，可判定本题为年均增长率计算问题。
6. 定位表格材料，2016年总票房为457.1亿元，2012年总票房为170.7亿元。
7. 代入公式则有$(1+r{)}^4$ = $\frac{457.1}{170.7}$≈2.7
8. 若r=20%，则$(1+20\mathrm{\%}{)}^4$=1.2×1.2×1.2×1.2=1.44×1.44=1.96<2.7，年均增长率大于20%。
9. 若r=30%，则$(1+30\mathrm{\%}{)}^4$=1.3×1.3×1.3×1.3=1.69×1.69=2.89>2.7，年均增长率小于30%。
10. 因此可得：20% < r < 30%，结合选项只有B项满足。

七、平均数增长率

1、平均数增长率：平均数的增长率，要同时体现平均数、增长率两层含义。比如2021年人均收入比去年增加了百分之多少或2021年人均收入是去年的多少倍，这就是要求平均增长率。

2、题型识别：平均数+增长了...

3、公式：a−b1+b，其中a表示平均数中分子的增长率，b表示分母的增长率。‌

4、公式推导过程：

1. 现期的平均数为个数总数个数总数，我们用AB表示，A的增长率为a，B的增长率为b
2. 则基期的平均数为AB × 1+b1+a
3. 带入增长率公式现期基期现期基期-1，即[AB÷（AB×1+b1+a）]-1
4. 化简可得增长率：1+a1+b-1 = a−b1+b
5. 如果求“现期平均数是基期平均数的多少倍”，倍数=增长率+1=a−b1+b＋1。

5、计算：

（1）计算分子a-b

①当a-b>0，现期的平均数是同比上升的

②当a-b<0，现期的平均数是同比下降的

（2）再看b符号

①当b>0，分母（1+b）>1，结果的绝对值<|a-b|

②当b<0，分母（1+b）<1，结果的绝对值>|a-b|

通过步骤（1）可以排除两个选项，大部分题目只要通过步骤（2）就可以选择答案了

6、拓展：该公式可以用于求AB公式类型的增长率，虽然叫“平均”，公式的使用并不限制“平均”的题型，比如求比重的增长率也可以用这个公式，因为比重=部分整体部分整体。

例：2016年全国餐饮收入35799亿元，同比增长10.8%，餐饮收入占社会消费品零售总额的比重为10.8%。2016年全社会餐饮业经营单位为365.5万个，同比下降8.2%；从业人数为1846.0万人，同比增长5.7%。

问：2016年全社会餐饮业平均每个经营单位的从业人数比上年约：（ ）

A.减少了2%

B.减少了15%

C.增加了2%

D.增加了15%

解析

5. 问题存在“平均每个”和“比上年”，推断为平均增长率题型。
6. 2016年全社会餐饮业经营单位为365.5万个，同比下降8.2%，从业人员为1846.0万人，同比增长5.7%。根据平均数增长率=(a%-b%)/(1+b%)，故平均数增长率为(5.7%+8.2%)/(1-8.2%)=13.9%/(1-8.2%)＞13.9%，仅D符合。